Martim Costa nasceu em Vila Nova de Gaia, mas cresceu em Espanha, quando o pai (Ricardo Costa) jogava andebol no Ademar León. Filho de dois ex-jogadores de andebol, a preferência por jogar a bola com as mãos surgiu naturalmente. Federado desde 2011, quando a família regressou a Portugal, Martim começou a jogar no Colégio dos Carvalhos, seguindo depois para o FC Porto, com um empréstimo pelo meio ao FC Gaia.

Internacional português desde os sub-16, participou num Euro sub-18, um Mundial sub-19 e um Euro sub-20. Neste último, realizado em Portugal e já como jogador do Sporting, os lusos foram vice-campeões com Martim a integrar a equipa ideal da prova. A iniciar a segunda temporada de Leão ao peito, já conquistou uma Taça de Portugal com as nossas cores.