Francisco Costa praticamente nasceu com uma bola de andebol nas mãos. Filho de Ricardo Costa, ex-internacional português e actual treinador do Sporting CP, desde cedo se apaixonou pela modalidade. Via todos os jogos do pai, frequentava os treinos e foi ainda em Espanha que começou a praticar a modalidade, no Colégio Teresiano de León. No regresso da família a Portugal, igressou no andebol do Colégio dos Carvalhos, passou pelo FC Gaia e acabou por se estrear na equipa sénior do FC Porto com apenas 15 anos.

Chegou ao Sporting CP em julho de 2021, após meia temporada na AA Avanca e em agosto brilhou na selecção nacional de sub-19, sendo nomeado para o 7 ideal do campeonato da Europa. Na época transacta voltou a brilhar numa prova internacional de selecções (o Euro de sub-20), integrou mais uma vez a equipa ideal da prova e foi o melhor marcador de uma competição onde os lusos foram vice-campeões da Europa. A época terminou com a conquista da Taça de Portugal pelo Sporting e o jovem de 17 anos está actualmente nomeado pelo site Handball Planet para a eleição do melhor jovem jogador do Mundo.