Rodrigo Zalazar nasceu em Espanha, é filho de pais uruguaios e foi sobretudo por influência do pai, ex-jogador, que sempre quis jogar futebol. Começou nos escalões jovens do Albacete, antes de transitar para Málaga. Aos 20 anos assinou pelo Eintracht Frankfurt, mas acabou por seguir por empréstimo para o Korona Kielce e depois para o St. Pauli. Impôs-se no Schalke 04, venceu a 2.ª Liga alemã em 2021/22, estreou-se no primeiro escalão germânico na época seguinte e em 2023 chegou a Portugal para jogar no SC Braga.

Internacional pelo uruguai desde 2023, assinou pelo Sporting CP um contrato válido até 2031, tendo ficado com uma cláusula de rescisão fixada nos 80 milhões de euros.